☆ Intégrale et somme

Pour tout entier naturel \(n\) , on pose \(I_{n}={\displaystyle \int_{0}^{1}\left(1-t^{2}\right)^{n}\mbox{d}t}\) .

1. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que \(I_{n+1}=(2n+2){\displaystyle \int_{0}^{1}t^2\left(1-t^{2}\right)^{n}\mbox{d}t}\) .

2. En déduire que \(I_{n+1}=\dfrac{2n+2}{2n+3}I_n\) .

3. Calculer la valeur de \(I_n\) .

4. En déduire la valeur de \(S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{(-1)^{k}}{2k+1}\binom{n}{k}\) .